EQUIVALENCIA (Directa y Contraria)

“Dos cosas son idénticas si y solo si lo que puede ser dicho de la una puede ser dicho salva veritate de la otra” (Leibniz)

“Es evidente que la identidad no es una relación entre objetos” (Wittgenstein, Tractatus 5.5301)

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Semántica

Dos expresiones son equivalentes si representan a la misma entidad.


Sintaxis

(x ≡ y)  o bien  x≡y

Justificación

La equivalencia nos facilita la especificación de entidades que se consideran indistinguibles semánticamente, aunque la forma sea diferente.


Ejemplos

1. ⟨( x+y ≡ y+x )⟩ // la suma tiene la propiedad conmutativa
   
   
2. ⟨( {x y} ≡ {y x} )⟩ // la conjunción tiene la propiedad conmutativa

Observaciones

• La equivalencia va asociada normalmente a expresiones genéricas que especifican propiedades.
  
  
• Dos expresiones sintácticamente distintas pueden ser equivalentes desde un punto de vista semántico (al ser evaluadas o interpretadas). Por ejemplo:
  
  ⟨( x^y^z ≡ (x^y)^z )⟩

⟨( (x★n x★m) ≡ x★(n+m) )⟩
  
  
• Se pueden definir cadenas de equivalencias, por ejemplo, x≡y≡z, que equivale a (x≡y y≡z).

Axiomas

1. ⟨( x ≡ x )⟩ // identidad (toda expresión es equivalente a sí misma)
   
   
2. ⟨( (x ≡ y) ↔ (y ≡ x) )⟩ // conmutatividad
   
   
3. ⟨( (x ≡ y) → (y ≡ z) → (x ≡ z) )⟩ // transitividad
   
   
4. ⟨( (x = y) ↔ (x ≡ y) )⟩
   La igualdad y la equivalencia son equivalentes a nivel condicional (una implica a la otra).

Simplificación de expresiones equivalentes

En una expresión se consideran todas las expresiones equivalentes, seleccionándose siempre la más simple, es decir, la más compacta. Por ejemplo:

(a + b + a) // ev. 2*a+b

En este caso, se consideran las expresiones equivalentes

(a + b + a), (a + a + b) y (b + a + a), pues la suma es conmutativa.


Equivalencias con conceptos contrarios

Es posible especificar equivalencias entre conceptos contrarios. Ejemplos:

1. (rico' ≡ pobre) // lo contrario de rico es equivalente a pobre
   
   
2. (alto' ≡ bajo) // lo contrario de alto es equivalente a bajo
   
   
3. (blanco' ≡ negro) // lo contrario de blanco es equivalente a negro

Y también entre conceptos afectados por un factor numérico entre 0 y 1:

(0.7*alto ≡ 0.3*bajo)

En general, se cumplen las propiedades siguientes:

1. ⟨( (x' ≡ y) ↔ (x ≡ y') )⟩
   
   Es decir, si, por ejemplo, (alto' ≡ bajo), entonces (alto ≡ bajo')
   
   
2. ⟨( (r*x ≡ (1−r)*x') )⟩
   Por ejemplo, (0.7*alto ≡ 0.3*bajo)

Equivalencia contraria

Como en el caso de la sustitución contraria, la expresión (x ≡' y) se puede utilizar como condición. Se define de la manera siguiente:

⟨( (z ← (x ≡' y)) =: (z ←' (x ≡ y)) )⟩

Por ejemplo,

(a ← (x ≡' y)) representa a (a ←' (x ≡ y))

La equivalencia contraria se puede utilizar también como expresión descriptiva. Por ejemplo,

(a ≡' b)
(a y b no son equivalentes)